PROJET SATELLITE N°2

CALCUL D'UNE CORRECTION D'ORBITE A POUSSEE CONSTANTE

I GRANDES LIGNES DE L'ETUDE : Calcul de l'orbite obtenue après une correction de trajectoire à poussée et direction constantes.

II TRAVAIL A FAIRE :

Pour l'essentiel le travail consiste à exploiter et vérifier une note interne du CNES :Note de calcul N° 35 de Paul Legendre (1976), concernant une correction de trajectoire à poussée et direction constantes, note résumée et interprétée ci-après.

L'orbite initiale est donnée par ses paramètres orbitaux classiques W, w, i, a, e, fo, t_P.

1°) TRAVAIL THEORIQUE MATHEMATIQUE :

a) Hypothèses de calcul :

1- La correction est caractérisée par une force inertiellement fixe dans le repère géocentrique équatorial. On notera P la poussée constante et u l'unitaire de cette poussée, q le débit constant, Isp l'impulsion spécifique.

2- La durée D de la manœuvre est petite devant la période orbitale.

3- m est la constante de gravitation, M(t) la masse variable.

b) Modélisation mathématique:

La mise en équations repose sur la loi fondamentale de la dynamique:

Le système différentiel se ramène classiquement à l'ordre 1 et s'écrit simplement:

c) Etude mathématique du système différentiel linéaire :

Vous établirez par des calculs mathématiques justifiés et commentés, les fondements du système différentiel. De même vous justifierez la forme de la solution X(t) donnée par

NB1: Vous pourrez vous contenter de X1 seulement.

NB2: Si vous avez quelques connaissances de la transformation de Laplace , vous aurez alors une occasion particulièrement adaptée de l'appliquer. A défaut vous devrez faire appel à la technique de variation de la constante pour les systèmes différentiels.

d) Résultats:

Par un calcul simple vous établirez les formules donnant les écarts en position et vitesse Dpos, Dvit:

e) Solution littérale approchée:

Vous obtiendrez par un développement en série de sink(t-t) et cosk(t-t) le résultat approché suivant:

III TRAVAIL INFORMATIQUE A REALISER:

1°) ORBITE INITIALE : Vous adopterez donc une orbite primaire C1du type:

Périgée rp1=6678 km

Apogée ra1=44691 km

Inclinaison i = 0°

Argument nodal du périgée w = 0 °

Longitude de la ligne nodale W = 0 °

Heure de passage apogée t1= 1192,7 s

Heure correction to = 0 s

Heure de passage au périgée à évaluer.

Les perturbations gravitationnelles sont naturellement négligées.

2°) Caractéristiques de la poussée

Nous adoptons les données du CNES de l'époque pour Symphonie:

Masse du satellite avant poussée: 400 kg

Impulsion spécifique: 2794,895 m/s

Durée de la poussée: 1192,7 s

Orientation de la poussée: normale au grand axe, dans le plan orbital, dans un sens qui tend à augmenter la vitesse.

Poussée du moteur d'apogée : F = 392.27 Newtons

3°) Travail informatique:

a) Vous mettrez au point un programme informatique très général de traitement du système différentiel et calculerez la nouvelle orbite après la correction, et ceci en utilisant un algorithme d'intégration.

b) Vous déterminerez cette même orbite en utilisant la solution approchée.

c) Vous comparerez les deux résultats et commenterez la méthode.

d) Appliquer alors sur un exemple quelconque ces résultats pour une correction de courte durée.

On calculera les nouveaux paramètres orbitaux après la manœuvre dans le cas général et numériquement dans le cas particulier.

Guiziou Robert janvier 2000, sept 2011